Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 by Ina Kersten

By Ina Kersten

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0 ... 0   0 ... 0   ..  .  0 ... 0 mit B ∈ Mm×m (K) und passenden Nullbl¨ocken. 4 regul¨ar ist. Also ist m = rang MB (s). 2 ist MB (s) = t T · MB (s) · T . Hieraus folgt m = r , vgl. Aufgabe 35. 6 Dualit¨ atssatz Satz (Dualit¨ atssatz). h. f¨ ur die Rad V = {0} sei). Dann gelten f¨ ur jeden Teilraum U von V 1. dimK V = dimK U + dimK U ⊥ 2. (U ⊥ )⊥ = U und Rad U = Rad(U ⊥ ) 3. Ist s|U ×U : U × U −→ K regul¨ ar, dann ist V = U ⊥U ⊥ , und auch die ⊥ Einschr¨ ankung von s auf U ist regul¨ ar.

0 .. ··· ··· ··· .. .. 0 ··· ··· ··· 0 .. 0 .. 0 am 0 .. 0  0 ··· 0 ..  .   ..  .   0 ··· 0   0 ··· 0   ..  .  0 ··· 0 mit aj = 0 f¨ ur alle j = 1, . . , m, und es ist m = n − dimK Rad V . Beweis. Zu 1. Wir zeigen zun¨ achst, dass jeder orthogonal unzerlegbare Teilraum U von V eindimensional ist. 9. 4). Es gibt ein u ∈ U mit u, u = 0, denn angenommen u, u = 0 f¨ ur alle u ∈ U , dann folgt 0 = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v 0 0 = 2 u, v ∀u, v ∈ U Dann ist aber u, v = 0 ∀u, v ∈ U , also s|U ×U = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung.

Seien V , W endlich dimensionale K-Vektorr¨ aume, die jeweils mit einer regul¨ aren schiefsymmetrischen Bilinearform ausgestattet seien. Dann gilt V und W sind isometrisch ⇐⇒ dimK V = dimK W Zu jeder geraden positiven Zahl 2m gibt es also bis auf Isometrie genau einen regul¨ aren symplektischen K-Vektorraum der Dimension 2m. Regul¨ are symplektische R¨ aume ungerader Dimension gibt es nicht. Beweis. 6 f¨ ur endlich dimensionale Vektorr¨ aume. Analytische Geometrie und Lineare Algebra II, Universit¨ at G¨ ottingen 2006 60 13 Bilinearformen ⇐= Es ist V = H1 ⊥ · · · ⊥Hm und W = H1 ⊥ · · · ⊥Hm mit hyperbolischen Ebenen Hi , Hi nach dem Satz, den wir gerade bewiesen haben.

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